Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Язык — это очень хитрое низкоразмерное представление окружающего нас мира, которое позволяет нам эффективно общаться друг с другом и облегчает наше существование в многогранном мире.

Одной из первых стратегий, которые мы разработали для преодоления сложных препятствий, была идея эвристики — процесса, в котором мы упрощаем задачи, игнорируя, сознательно или бессознательно, часть информации, поступающей в мозг.
Проблема заключается в том, что эвристические методы, к которым прибегают люди, по большей части приводят к неверным суждениям и предвзятым решениям и, как правило, не подходят к тем целям, для которых их применяют. Зная что-либо из собственного опыта, мы склонны экстраполировать это знание на любые другие задачи, сравнивая их с тем, что нам уже известно. Мы судим о глобальном, опираясь на свое знание локального. Пока наш мир не слишком далеко выходил за пределы небольшого участка саванны, на котором мы жили, в этом не было ничего страшного. Но по мере расширения области нашего обитания эти эвристические методы перестали давать нам правильное понимание того, как устроены вещи, выходящие за пределы наших локальных знаний.

его лень — признак человека, не желающего играть по правилам.

Успехи математики в качестве шортката к быстрому развитию первых цивилизаций превратили эту дисциплину в мощное орудие тех, кто желал добиться большего, причем как можно быстрее.

тобы преобразовать экономику в инструмент, пригодный для XXI века, — говорит Раворт, — нам нужно использовать все шорткаты, какие только можно, потому что времени у нас мало!»

ак писал в 1972 году в ставшей классической книге «Искусство видеть» (Ways of Seeing) Джон Бергер: «Зрение первично по отношению к речи. Ребенок уже видит и понимает, хотя еще не умеет говорить» [86].

Очень эффективно используются карты, на которых отмечают не станции метро, а идеи. Их называют картами мыслей [76], а их назначение — выявить интересные связи между разными идеями, которые мы исследуем. Карты мыслей уже много лет служат незаменимой подмогой студентам, зубрящим перед экзаменами, потому что они помогают превращать темы, которые кажутся слишком сложными для выражения словами, в связные повествования. В известном смысле они опираются на принцип дворца памяти, о котором рассказывал Эд Кук. Карта мыслей может преобразовать винегрет из идей в воображаемый маршрут, по которому можно путешествовать по страницам.

При этом некоторые шорткаты сводятся к приближениям, достаточно точным для решения насущных задач. В некотором смысле сам язык — это тоже шорткат. Например, слово «стул» — шорткат к целой группе разного рода вещей, на которых можно сидеть. Но придумывать по отдельному слову для каждого конкретного стула было бы нерационально. Язык — это очень хитрое низкоразмерное представление окружающего нас мира, которое позволяет нам эффективно общаться друг с другом и облегчает наше существование в многогранном мире. Не будь у нас шорткатов — слов, каждое из которых обозначает множество предметов, — мы тонули бы в шуме.
Дальше я покажу, что и в математике для обнаружения шортката часто бывает важно отбрасывать информацию. Скажем, топология — это геометрия без размеров. Если вы находитесь в лондонском метро, карта, показывающая, как соединяются между собой разные станции, будет для вас полезнее, чем карта, точно отражающая их географическое расположение. Очень полезными шорткатами бывают и диаграммы. Опять же, лучшие из них отбрасывают все то, что не имеет прямого отношения к решаемой задаче. Но, как я покажу на примерах, грань между хорошим шорткатом и опасностью скатиться к срезанию углов часто бывает очень тонкой.

Задолго до нашего появления природа уже оперировала математическими шорткатами к решению задач. Многие из законов физики основаны на том принципе, что природа всегда находит кратчайшие пути. Свет распространяется по траектории, обеспечивающей самое быстрое достижение цели, даже если для этого ей приходится изгибаться вокруг крупных объектов — например, Солнца. Мыльная пленка образует формы, требующие наименьших затрат энергии: мыльные пузыри получаются сферическими, потому что эта симметричная форма имеет наименьшую площадь поверхности [3] и, следовательно, наиболее выгодна энергетически. Пчелы строят шестиугольные соты, потому что на постройку шестиугольника, охватывающего заданную площадь, уходит меньше всего воска. Наши тела нашли способ ходьбы, позволяющий переместиться из пункта А в пункт Б с наименьшими энергетическими затратами.
Природа ленива, как и человек, и стремится находить низкоэнергетические решения. Как писал живший в XVIII веке математик Пьер Луи де Мопертюи, «природа экономна во всех своих действиях». Она чрезвычайно хорошо умеет вынюхивать шорткаты. У каждого такого решения неизменно есть математическое объяснение. И шорткаты, найденные человеком, часто материализуются в результате наших исследований решений, которые нашла природа.

в одном виде данные кажутся маловразумительными, но как только мы изменяем способ их записи, они наводят на новое понимание.